Sonlu Elemanlar Yöntemini Kullanmadan Önce Bilmeniz Gerekenler

Sonlu Elemanlar Yöntemi (SEY)’ nin Kullanım Amacı Nedir?

Günümüzde karşımıza çıkan pek çok mühendislik probleminin çözümlerinin basit matematiksel ifadeler ile ortaya konması mümkün değildir.  Geometrinin düzgün olmayışı, yükün uniform olmaması, malzemenin doğrusal olmayan nonlineer dediğimiz davranışı göstermesi, analitik çözümleri elde etmemizi engellemektedir. Bu gibi durumlarda problemi daha küçük parçalara ayırarak yaklaşık çözümlere gidilmektedir. Tam da bu noktada sonlu elemanlar yöntemi (SEY) devreye girmekte.

Sonlu elemanlar yöntemi tam olarak; düzgün olmayan geometri içeren, karmaşık mesnetlenme koşullarının hakim olduğu, çeşitli yükler altındaki problemi bir seferde çözmek yerine, küçük problemlere ayırıp bu problemlerin çözümlerini bir araya getirip sunmaktır. Bu işleme ise ayrıklaştırma diyoruz. Ancak bu küçük problemlerin birbirine bağımlı kalarak çözümlendiğini de unutmamak lazım. Bağlantı noktaları da düğüm noktalarıdır.

Ayrıklaştırma işleminde can alıcı nokta ise problemi kaç adet sonlu elemana böleceğimizdir. Ne kadar az sonlu eleman sayısı olursa o kadar kaba bir yaklaşım ile problemi çözmüş oluruz, yani sonuç gerçekten uzak kalacaktır. Sonlu eleman sayısını arttırarak hassasiyeti de arttırmak mümkündür. Fakat nereye kadar arttırmak doğrudur sorusunu da sormanız gerekir. Aşırı eleman ile çalışmak da bilinmeyen sayısını arttıracaktır -ki ne kadar bilinmeyen var ise o kadar denklem vardır-  ve bu da çözüm süresini tahmin edilenden daha da uzatacak, yuvarlama hataları nedeniyle sonucun dalgalanmasına sebep olacaktır.

Örneklendirmek gerekirse; akışkanlar mekaniği, zemin mekaniği, uçak mühendisliği,nükleer mühendislik, kaya mekaniği.. gibi alanlarda karşılaşılan mühendislik problemlerinin çözümünde sonlu elemanlar yöntemini görmek mümkün.

SEY’i Kullanan Yazılımlara Örnekler

SAP 2000 sonlu elemanlar yöntemini kullanan programlardan biridir. Bu program ile çok çeşitli yapı sistemlerini modellemek,analizlerini yapmak ve tasarlayabilmek mümkündür. Ayrıklaşan parçaları birbirine bağlayan düğüm noktaları düğüm noktaları SAP 2000’de “joints” terimi ile geçmektedir. Farklı mesnetlenme koşulları da bu programda mevcut. “Restraints” terimi mesnet koşullarını tanımlayacağınız kısımdır. İstenilen eksenlerde dönmeler ve ötelenmeler kısıtlanabilir ya da serbest bırakılabilir( kayıcı mesnet, sabit mesnet gibi).

Aynı zamanda döşemenin rijit diyafram davranışını da bu programda modellemek mümkündür. Rijit diyafram davranışı döşemeye gelen yatay yüklerin döşemede deformasyona sebebiyet vermeksizin kolon ve kirişlere doğrusal biçimde dağıtılmasıdır. Ancak her zaman döşemenin rijit diyafram davranışı gözlenemez. Yapı düzensizlikleri söz konusu ise binanın taşıyıcı sistemini modellerken bunu göz önünde bulundurmak gerekir. Döşemede büyük boşluklar ya da planda simetrik yerleştirilmemiş perdeler bulunuyorsa döşemenin rijit diyafram olarak modellenmesi yanlış bir kabul olacaktır. Düzlem içi rijitliklerin dikkate alındığı bir model daha doğru olacaktır ve analiz sonrasında doğru sonuçlara ulaşmamızı sağlayacaktır.

Bir başka sonlu elemanlar yöntemini kullanan program ise Plaxis 2D’dir. Plaxis 2D, geoteknik problemlerini modellemek içinkullanılan(deformasyon ve stabilite analizleri, yer altı suyu gibi) bir programdır. Karmaşık geometriye sahip modellemeler yapılabilir. Model özelliklerinin belirlendiği arayüz ile kaç düğüm noktalı elemanların kullanılacağını belirlemek mümkündür.Geometri sınırları x ve y koordinat düzlemleri üzerinde oluşturulurken, sınır koşulları ise zeminin herhangi bir x veya y yönünde geçirimli oluşu ya da olmayışı ile tanımlanabilir.  Model ağının özelliklerini tanımlayan ve geometriyi ayrıklaştırarak sonlu eleman modeline dönüştüren kısım ise “Mesh”tir. Türkçe karşılığı örgü, ağ anlamına gelmekte olan mesh ara yüzünde hassasiyeti arttırmak ve azaltmak, buna göre analiz yapmak mümkündür. Sap 2000’deki gibi hesaplama otomatiktir ancak Plaxis kullanım kılavuzunda da özellikle belirtildiği gibi veri girişi kullanıcının kontrolünde olduğu için Plaxis üretici firması oluşabilecek sorunlardan kendini sorumlu tutmaz.

SEY’in Avantajları

Sonlu elemanlar yönteminin diğer yöntemlere göre avantajlarını sıralamak gerekirse özetle;

• Farklı malzeme ve geometrik özelliklere sahip cisimlerin modellenebilmesi,
• Çeşitli mühendislik problemlerinin çözümünde kullanılabilmesi,
• Karmaşık mesnetlenme koşulları ve yükler ile başa çıkabilmesi,
• Lineer olmayan davranışın modellenmesi ,
• Statik yüklerin yanında dış yükün dinamik olarak da seçilebilmesidir.

SEY’in Dezavantajları

• Sonuçların doğruluğu veri girişinin doğruluğu ile birebir ilişkilidir.
• Ayrıklaştırma işlemi kullanıcının deneyimini ister.
• Yaklaşık sonuçlar verir.

Sonuç olarak sonlu elemanlar yönteminin mühendislikteki yeri oldukça geniş ve önemlidir. Ancak bu yöntem ile gerçeğe en yakın sonuçları elde edebilmek için dikkatli modelleme yapılması, sınır şartlarının ve yük gibi dış etkilerin yapıya en uygun olacak şekilde seçilmesi gerekmektedir. Bunun yanı sıra sonuçların yorumlanması kısmı da tamamen kullanıcıya bağlıdır.

Meraklısına faydalı olabilecek terimler ve anahtar sözcükler;

• Finite element method= Sonlu Elemanlar Yöntemi
• Approximate Solutions = Yaklaşık Çözümler
• Mesh = Ağ, örgü
• Coarse mesh = Sonlu eleman sayısının az olduğu kaba yaklaşım
• Fine mesh = Yaklaşımın daha hassas olduğu, çok eleman içeren sıkı örgü modeli
• Structural model = Yapısal model
• Effect = Etki ( statik veya dinamik dış yük gibi)
• Response = Tepki (lineer veya lineer olmayan)
• Discritization = Ayrıklaştırma
• Nodes = Düğüm noktaları
• Degree of freedom = Serbestlik derecesi
• Boundry conditions = Sınır koşulları

Kaynaklar

1 http://anibal.gyte.edu.tr/dosya/328/EngCourses/Gebze2008/Fahjan-IMOGebze2008-SonluElemanlar_01.pdfe

SONLU ELEMANLAR (FINITE ELEMENTS) YÖNTEMİ

SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ (SAP2000 UYGULAMASI) I. Genel Kavramlar

2 http://dergipark.gov.tr/download/article-file/89157